1. EL TEOREMA DE GÖDEL
El llamado Teorema de Gödel es en realidad el
teorema VI de un artículo que con el título de "SOBRE SENTENCIAS FORMALMENTE INDECIDIBLES DE PRINCIPIA MATHEMATICA Y
SISTEMAS AFINES" (Über formal
uenentcheidbare satze der Principia Mathematica und verwandter systeme)
apareció en 1931 en Monatshefte für
mathematik und Physik y cuyo enunciado es:
"Para
cada clase recursiva primitiva y w-consistente K de FORMULAS hay un SIGNO DE
CLASE r tal que ni vGen r ni Neg(vGen r) pertenecen a Flg(K) -donde v es la
VARIABLE LIBRE de r"[1]
este enunciado, que así aparece como totalmente
ininteligible, traducido a un castellano más normal quiere decir:
"Toda
formulación axiomática de teoría de los números incluye proposiciones
indecidibles"
Lo que Gödel hizo en
realidad fue mostrar que todos los esfuerzos para demostrar que la aritmética
está libre de contradicciones están condenados al fracaso. La conclusión del
teorema de Gödel fue doble:
1. Mostró que es imposible
establecer una demostración metamatemática de la consistencia de un sistema que
es suficientemente extenso para contener el total de la aritmética, a menos que
esta demostración misma utilice reglas de inferencia mucho más poderosas que
las reglas de transformación utilizadas para derivar los teoremas dentro del
sistema.
2. El teorema de Gödel ponía
en evidencia una limitación fundamental del método axiomático. En efecto, Gödel
mostró que los Principia o cualquier
otro sistema[2]
del cual se pueda desarrollar la aritmética es esencialmente incompleto. En él
existen afirmaciones verdaderas que no son demostrables; según esto, la
demostración del teorema de Gödel se reduce a coger un sistema formal y
construir dentro de él una proposición de la forma "NO SOY
DEMOSTRABLE" que será tan verdadera como, obviamente, no demostrable.
Dicho así, la cosa parece
muy sencilla; sin embargo, antes de demostrar su teorema, Gödel da una lista de
cinco axiomas, cinco teoremas, cuarenta y seis definiciones, amén de introducir
las nociones nuevas de recursividad (que ha sido tremendamente fructífera
posteriormente), w-consistencia y la gödelización.
Como dar una demostración
del teorema se sale de los límites del presente trabajo, lo único que voy a
hacer es dar una pequeñísima noción de los términos claves del teorema[3]:
-CONSISTENCIA.-Un
sistema formal es consistente si y sólo si no se pueden deducir en él
contradicciones; si el teorema de Gödel demuestra que es imposible probar que
un sistema formal es consistente, quiere decirse que no se puede probar que un
sistema formal (como la aritmética) está libre de contradicciones.
-COMPLETUD.-Un
sistema formal es completo sí y sólo si todas las fórmulas bien formadas que
puedan construirse en ese sistema pueden demostrarse; el teorema de Incompletud de Gödel demuestra, por tanto,
que dentro de los sistemas formales hay fórmulas bien formadas que no se pueden
demostrar.
-RECURSIVIDAD.-El método de definición
recursiva es una extensión del método de definición por "inducción
matemática", mediante el cual se definen los números paso a paso. Una
definición recursiva es la especificación de cada número en una secuencia de
números por medio de una especificación del primer número y una regla que
especifica el (k+1)-ésimo número en términos del k-ésimo y de k mismo. Una
función aritmética es RECURSIVA si es el último término de una secuencia finita
de funciones en la que cada función se define recursivamente mediante una regla
que incluye dos funciones que la preceden en la secuencia.
-GÖDELIZACION.-Gödel
diseñó un método de asignar un número a modo de etiqueta a cada signo
elemental, a cada fórmula y a cada demostración de un sistema formalizado. A
los signos elementales les asignó como número de Gödel los enteros de 1 a 10; a
las variables les asignó números de acuerdo con ciertas reglas: variables
proposicionales (designada cada una mediante un número mayor que 10 y divisible
por 3); variables individuales (designada cada una con un número mayor que 10
que da de resto 1 cuando se divide por 3); variables predicativas (designada
cada una con un número mayor que 10 que da de resto 2 cuando se divide por 3).
Consideremos la fórmula ($x)(x=Sy)[Existe un x tal que x es igual a Sy]. Los
números asociados con los 10 sucesivos signos de la fórmula son 8, 4, 13, 9, 8,
13, 5, 7, 16, 9. Estos se utilizan como exponentes de los 10 primeros números
primos y se multiplican
8 4 13 9 8 13 5 7 6 9
2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 .
El producto es el número de Gödel de la fórmula. Así,
cada fórmula se puede representar mediante un
único número. Con esto, hemos logrado establecer un método para aritmetizar
un sistema formal. Tal método es un conjunto de reglas para establecer una
unívoca entre ciertos números específicos y los elementos del sistema; lo que
nos conduce a que si cada afirmación metamatemática puede ser representada de
modo único en el sistema formal mediante una fórmula que exprese una relación
entre números, las cuestiones de dependencia lógica entre afirmaciones
metamatemáticas pueden expresarse examinando las relaciones correspondientes
entre enteros. Gödel lo que hizo fumé construir una fórmula aritmética cuyo
número de Gödel es "h" que
corresponde a la afirmación:
"La fórmula con número de Gödel h(G) no es
demostrable"
o lo que es
lo mismo
"G es demostrable sí y sólo sí no G es
demostrable"
lo cual haría al sistema
inconsistente; por tanto, si queremos conservar la coherencia del sistema, G no
es demostrable.
-W-CONSISTENCIA.-Un
sistema formal es W-consistente si no
contiene ningún símbolo de la clase a(n) que sea tal que a(m) sea
"demostrable" dentro del sistema para todo numeral m y al mismo
tiempo Neg((n Gen a(m)) sea "demostrable" dentro del sistema. Puesto
que la "consistencia" de P es una consecuencia de su
"w-consistencia" con la "demostrabilidad" de Neg p(Gp) da
lugar a una contradicción; de este modo, si el sistema formal es
"w-consistente", Neg -(Gp) es "indemostrable" dentro de P.
La combinación de estos dos
resultados nos dice que si P es "w-consistente", ni p(Gp) ni Neg
p(Gp) son "demostrables" dentro de P, esto es: p(Gp) es indecidible
dentro de P.
¿Cuáles son las
consecuencias del teorema de Gödel? Gödel prueba que TODOS los sistemas
formales de la matemática clásica son incompletos; esta incompletud no tiene
remedio; por muchos axiomas que añadamos, los sistemas formales siguen siendo
incompletos. Por otro lado, Gödel demostró que es imposible demostrar la
consistencia de un sistema formal dentro
del mismo, aunque sí desde una teoría más potente que el propio sistema
formal (lo cual es de dudosa utilidad).
Todo esto conduce a que el
programa formalista de Hilbert (que requiere la completa formalización de la
matemática) es una pura quimera; lo cual nos conduce a que no podemos
olvidarnos del contenido transfinito (introducido por Cantor mediante su método
de la diagonal) de la matemática clásica con lo cual, no podemos restringir
nuestros razonamientos a lo finito. Esto nos lleva a que la matemática (la más
formal y exacta de las ciencias) no está libre de contradicción (mejor dicho,
no se ha demostrado que esté libre de contradicción). Pero si las matemáticas
no están libres de contradicciones, ¿cómo podemos esperar que estén libres de
ellas otras ramas del conocimiento mucho menos exactas y rigurosas que ellas
-como la filosofía-? En consecuencia, cualquier teoría del conocimiento y
cualquier intento de conseguir la certeza puede ser criticado y con ello toda
la filosofía occidental. Nos volvemos a sentir perdidos sin nada a que
aferrarnos al igual que el hombre del Renacimiento, cuando el Universo dejó de
tener dimensiones finitas y las adquirió infinitas y la Tierra dejó de ser el
centro del Universo. No es de extrañar que los resultados de Gödel cayeran como
una bomba.
El teorema de Gödel también
tuvo importantes consecuencias en inteligencia artificial (en lo sucesivo IA),
concretamente, el teorema de Gödel es una de las piezas básicas en la
argumentación de los antimecanicistas, ya que, según ellos, el teorema de Gödel
impone restricciones a lo que una máquina es capaz de hacer; estas
restricciones, a las que no está sujeta la mente humana, hacen que la mente no
se pueda describir como una máquina y, por tanto, refutan el mecanicismo.
2. DETERMINISMO VERSUS INDETERMINISMO
El determinismo es la
postura filosófica que sostiene que todo lo que ha habido, hay y habrá -y todo
lo que ha sucedido, sucede y sucederá- está de antemano fijado, condicionado y
establecido. El determinismo está asociado a la idea de una causalidad que rige
el universo entero, no existe, por tanto, la creación y la libertad.
La doctrina determinista no
es susceptible de prueba, por cuya razón el determinismo es considerado como
una hipótesis, aunque autores hay que piensan que si el determinismo no se
puede demostrar es por la capacidad finita de la mente humana. Así, por
ejemplo, Laplace sostenía que si conociéramos perfectamente el estado actual
del universo, podríamos determinar con exactitud todo el pasado y todo el
futuro.
Para que un sistema sea
determinista, ha de cumplir las siguientes condiciones:
1. El
sistema ha de ser cerrado, en el sentido de no admitir elementos o
acontecimientos externos al sistema.
2. El
sistema abarca elementos, acontecimientos o estados del mismo tipo ontológico.
3. El
sistema incluye secuencias temporales.
4. El
sistema posee un conjunto de condiciones iniciales que, en el caso de admitir
que el sistema es cerrado, es el único que existe.
Nótese que entre los
requisitos indicados para que un sistema sea determinista, no se encuentra el
de "predictibilidad"; ello es debido a que la predictibilidad puede
encontrarse también en sistemas indeterministas.
Las doctrinas deterministas
están vinculadas a una concepción mecanicista del universo, el mecanicismo
sostiene que toda la realidad o, cuando menos, toda la realidad natural, tiene
una estructura comparable a la de una máquina, de modo que puede explicarse a
base de modelos de máquinas. Una explicación es, en última instancia, una
explicación de acuerdo con un "modelo mecánico".
Por el contrario, el
indeterminismo sostiene que los acontecimientos de cualquier índole que sea no
están determinados y, por consiguiente, nada sucede necesariamente.
El determinismo y el
indeterminismo son importantes como posturas filosóficas en la controversia
sobre mentes y máquinas. De hecho el determinismo, en su versión mecanicista,
es la postura que sostiene que las máquinas pueden pensar ya que la mente
humana puede ser descrita como una máquina, y si la mente humana es capaz de
pensar, entonces las máquinas pueden pensar. Por el contrario, los
indeterministas sostienen que las máquinas nunca podrán igualar a la mente.
El mecanicismo[4]
puede presentarse por la tesis (M) de que todos los hombres son máquinas. Los
argumentos tanto a favor como en contra del mecanicismo, sobre la base de
consideraciones cibernéticas, deben su capacidad de persuasión a las relaciones
lógicas entre (M) y la tesis (A) de que las máquinas pueden hacer todo lo que
los hombres pueden hacer. Aún cuando (M) implica necesariamente (A)[5],
la recíproca no es válida, ya que es posible que los hombres y las máquinas
hagan las mismas cosas, pero las harán de maneras irreductiblemente diferentes.
No obstante, puesto que (M) implica necesariamente (A), la negación de (A)
implica necesariamente la negación de (M). Esta última implicación necesaria
proporciona una forma de argumentación que, si se usa con éxito, podría
establecer la falsedad de la tesis mecanicista.
De hecho, para refutar el
mecanicismo basta probar que algunos
hombres no son máquinas; mientras que la tesis mecanicista nunca podrá
probarse, porque nunca podremos demostrar que todos los hombres son como las máquinas. Hablando en términos
popperianos: el mecanicismo es refutable, pero no verificable.
Hay dos formas de refutar el
mecanicismo: una en sentido fuerte, según la cual ningún hombre es una máquina, y otra en sentido débil, según la
cual algunos hombres no son máquinas.
La refutación en sentido débil es muy fácil, pero la refutación en sentido
fuerte es bastante más difícil, porque para demostrar que ningún hombre es máquina, no es suficiente con demostrar que (A) es
falso porque hay algunas cosas que algunos
hombres pueden hacer y que ninguna máquina puede hacer, sino que hay que
demostrar que existen algunas cosas que todos
los hombres pueden hacer y que ninguna máquina puede hacer; esta es la tesis
sostenida por J. R. Lucas, y que jugará un papel importante en el resto de la
argumentación.
3. EL TEOREMA DE GÖDEL Y LAS MAQUINAS DE PENSAR
3.1 EL TEOREMA DE GÖDEL Y EL ANTIMECANICISMO
El teorema de Gödel afirma
que en todo sistema formal A cuyo léxico sea lo suficientemente rico como para
tener la capacidad de hablar de sí mismo, existe una fórmula verdadera pero que
es indemostrable. Esto supone una limitación para todo sistema formal, ya que
si queremos demostrar esa fórmula hemos de recurrir a otro sistema formal B
cuyo léxico sea más rico que el de A, pero en este sistema B hay otra fórmula
indecidible, para cuya demostración hemos de acudir a un sistema C más rico que
B y así ad infinitum.
Comentando estos resultados E. Nagel y J. R.
Newman afirman:
"Las máquinas contestan, pues, a los
problemas, operando por pasos medidos, cada uno de los cuales se halla
controlado por las directivas introducidas en ellas. Pero... existen muchos
problemas de la teoría elemental de los números que caen fuera del ámbito de un
método axiomático fijo y que tales máquinas son
incapaces de resolver por muy intrincados e ingeniosos que puedan ser sus
mecanismos... Dado un determinado problema, podría construirse una máquina
de este tipo que lo resolviese; pero no
puede construirse una máquina que resuelva todos los problemas. El cerebro
humano puede, indudablemente, hallarse afectado de limitaciones inherentes al
mismo, y pueden darse problemas matemáticos que sea incapaz de resolver. Pero,
aún así, el cerebro parece incorporar una
estructura de reglas de operación mucho más poderosa que la estructura de las
máquinas artificiales"[6]
[cursiva mía]
En otras palabras: la
estructura de la mente humana es más poderosa que la de las máquinas; por
tanto, la mente humana puede hacer cosas que las máquinas no pueden hacer, por tanto,
la mente humana no puede ser descrita en términos mecanicistas simplemente.
Nagel y Newman no han sido
los únicos que han negado que la mente humana sea descriptible en términos
mecanicistas basándose en el teorema de Gödel; sino que tras ellos ha habido
una larga ristra de filósofos, el más célebre de los cuales ha sido J. R.
Lucas.
Según Lucas, el teorema de Gödel DEMUESTRA la
falsedad del Mecanicismo, o sea, que las mentes no pueden ser descritas como
máquinas: "El teorema de Gödel debe ser aplicable a las máquinas
cibernéticas, porque es fundamental para la condición de máquina el ser un
ejemplo concreto de sistema formal. De ello se deduce que, dada una máquina que
sea coherente y capaz de efectuar operaciones aritméticas simples, existe una fórmula
cuya autenticidad es incapaz de demostrar aunque nosotros veamos que es cierta.
De ello se infiere que ninguna máquina puede ser un modelo exacto o adecuado de
la mente, y que las mentes son fundamentalmente distintas a las máquinas"[7].
Para Lucas, una máquina es
algo cuyo comportamiento está totalmente determinado por su construcción y por
los estímulos que recibe, sin que haya posibilidad de que actúe por su cuenta:
dadas una modalidad constructiva y una determinada entrada de información, ha
de actuar de un modo concreto. Los cerebros humanos quizás estén sometidos a
efectos aleatorios pero en una máquina no se pueden introducir dispositivos
aleatorios de manera que opten por cualquier tipo de alternativa: sólo tienen
capacidad para elegir entre el número de alternativas permitidas.
Lucas sigue argumentando
que, aunque tuviésemos una máquina con un dispositivo aleatorio, tal máquina
sólo tendría un número finito de componentes y, por tanto, sólo podría efectuar
un número finito de tipos de operación y sólo un número finito de asunciones
iniciales; ello es así porque "las máquinas son definidas y no
consideraríamos máquina a algo indefinido o infinito."[8]
Así, siempre tendremos un
procedimiento efectivo para demostrar las fórmulas verdaderas producidas por la
máquina (por ejemplo: escribir en una hoja de papel una después de otra, si es
que la posterior es consecuencia de la anterior; las conclusiones verídicas que
produce la máquina corresponden a los teoremas susceptibles de demostración).
Ahora bien si en este sistema integramos una fórmula gödeliana, esta no puede
demostrarse dentro del sistema; por tanto, "la máquina no puede producir
la correspondiente fórmula verídica, pero sabemos
que la fórmula gödeliana es verdad"[9]
como puede demostrar cualquier ser racional; de donde se sigue que "para
cada máquina hay una verdad cuya veracidad no puede demostrar, mientras que una
mente sí puede. Esto demuestra que una máquina no puede ser un modelo completo
y adecuado de la mente"[10];
la consecuencia de esto es que no podemos construir una máquina que simule todo tipo de comportamiento mental.
Para cualquier máquina que construyamos, siempre habrá una fórmula
gödeliana que no puede demostrar mientras que la mente sí puede; y ello, a
pesar de que el procedimiento para producir la fórmula de Gödel es un procedimiento
estándar, pues para que una máquina fuera capaz de producir la fórmula de
Gödel, habría que añadirle lo que Lucas denomina "operador
gödelófilo", pero aunque tuviéramos una máquina con operador gödelófilo,
"cabría esperar que una mente, enfrentada a una máquina que constase con
un operador gödelófilo, lo tuviera en cuenta y superase gödelianamente la nueva
máquina gödelizando operador y todo."[11]
Es decir, aunque añadamos a
un sistema formal la serie infinita de axiomas formada por las sucesivas
fórmulas gödelianas, el sistema resultante sigue siendo incompleto, y contiene
una fórmula indemostrable dentro del sistema que un ser racional externo al
sistema sí puede demostrar. Además, esta serie infinita de axiomas ha de estar
especificada mediante una regla finita, y una mente que considere el sistema
formal ampliado puede tener en cuenta esta nueva regla de especificación. Es
decir, el método mecánico ha de ser finito y definido y, por tanto, superable
por la mente.
De lo dicho hasta aquí se
sigue que ninguna computadora puede ser tan inteligente como un ser humano ya
que hay tareas intelectuales que puede hacer un ser humano pero no la
computadora.
Del hecho de que haya tareas
intelectuales que puede hacer un ser humano pero no una computadora se sigue
que los seres humanos conocen más cosas que las computadoras. En efecto, hay
hechos de teoría de los números que una computadora no puede enunciar
(verbigracia, la fórmula gödeliana del sistema formal que constituye la computadora);
pero cuando no se consigue enunciar un hecho es, naturalmente, porque no se lo
conoce; pero como ocurre que las mentes humanas sí pueden enunciar el hecho que
las computadoras no pueden enunciar y, consecuentemente lo conocen, se deduce
que los seres humanos conocen (porque su forma de estar hechos les permite
conocer) más cosas que las computadoras.
Resumiendo:
-las computadoras y los robots son totalmente gobernados por
rígidos códigos internos, luego...
-las computadoras son isomórficas con respecto a los sistemas
formales, ahora bien...
-toda computadora que quiera ser tan
ingeniosa como los seres humanos debe alcanzar la capacidad de manejar teoría
de los números con la misma eficacia que aquellos, de manera que ...
-esa computadora ha de ser capaz de hacer
aritmética recursiva primitiva. Pero, por esta misma razón..
-es vulnerable al argumento gödeliano, lo cual implica que...
-las personas, utilizando su inteligencia
humana, pueden idear un determinado enunciado de teoría de los números que sea
verdadero, pero la computadora es ciega a la verdad de tal enunciado (es decir,
nunca le dará salida impresa), precisamente a causa de la argumentación de
Gödel; de donde se deduce que...
-hay una cosa para cuya realización las
computadoras no pueden ser programadas; las personas, por su parte, si pueden
realizarla, luego, son más inteligentes
La idea básica es que
nosotros estamos siempre fuera del sistema y desde ahí nos es posible ejecutar
la operación gödelizadora, la cual produce algo que el programa, desde dentro,
no puede ver que es verdadero.
Pero aún hay más; el teorema
de Gödel es aplicable únicamente a sistemas coherentes y, según Lucas, hay
motivos fundados para dudar de la coherencia de muchos seres humanos amén de
que quizás el ser humano no sea representable mediante un sistema formal
(únicos sistemas a los que se les puede aplicar el método de Gödel).
La única forma de salvar
este último escollo es construir una máquina incoherente (capaz de
autocontradecirse) que obre de forma coherente pero que, en virtud de su
incoherencia, pueda demostrar la fórmula de Gödel; ¿es posible construir una
máquina tal? Quizás si (y entonces Lucas estaría refutado) pero (objeta Lucas)
esto es salirse del sistema y lo único que Gödel ha demostrado "es que una
mente no puede llegar a una prueba formal de la incoherencia de un sistema
formal dentro del propio sistema, pero no hay objeción a salir del sistema ni a
reproducir argumentos informales de la coherencia.[12]
Hasta aquí la argumentación
de Lucas. El artículo de Lucas, publicado originalmente en 1961 en Philosophy es uno de esos artículos que
provocan la más absoluta adhesión o el más absoluto rechazo, pero nunca
indiferencia, y, puede decirse, que en gran medida la polémica mentes-máquinas
ha girado en torno a su artículo; de ahí el que aquí se haya dedicado tanto
espacio a la argumentación de Lucas.
Todos los mecanicistas
rechazan y critican la tesis de Lucas; pero entre los antimecanicistas esta
tesis también ha encontrado sus críticos; así, por ejemplo D. Coder[13]
afirma que los pensamientos no pueden ser explicados como las máquinas, pero no
es cierto (en contra de lo que piensa Lucas) que el teorema de Gödel pruebe
esto. El teorema de Gödel prueba que no
todos los pensamientos pueden ser explicados por las máquinas; pero de aquí
no se sigue que el teorema de Gödel refute el mecanicismo, sino que lo que se
puede deducir es que el teorema de Gödel no puede ser utilizado para arrojar
alguna luz en el porqué los pensamientos son diferentes de las máquinas; el
teorema de Gödel, como dice I. J. Good[14]
es una pista falsa. Ello es así porque si los pensamientos son esencialmente
diferentes de las máquinas, entonces el pensamiento no es semejante a una
máquina. El antecedente y el consecuente de esta proposición son ciertos, pero
el argumento de Lucas fracasa al establecer ambos. ¿Por qué? Porque un hombre
puede encontrar tantos problemas como una máquina a la hora de la gödelización;
así, un hombre capaz de hacer deducciones en un sistema de la teoría numérica,
pero incapaz de seguir los razonamientos de Gödel (por falta de preparación, o
por simple estupidez) no podría ver que la fórmula de Gödel es cierta; por
tanto, estaría en el mismo lugar que la máquina; según la argumentación de
Lucas no hay nada que este hombre pueda hacer que no pueda hacerlo una máquina.
Por tanto, si no queremos admitir que la mente humana pueda describirse en
términos mecanicistas, hemos de concluir que el argumento de Lucas es
equivocado.
¿Cual es, pues, la
diferencia entre las mentes y las máquinas? La forma de trabajar. En efecto,
las máquinas encuentran pruebas para los teoremas partiendo de nada (dada una
enumeración de secuencias de fórmulas bien formadas del sistema, puede
distinguir aquellas secuencias que constituyen pruebas de sus últimas líneas de
aquellas que no lo son) mientras que el hombre utiliza el ingenio para
demostrar el teorema. La diferencia está en que las máquinas operan con
algoritmos[15]
que determinan su conducta, mientras que el hombre utiliza el ingenio. A
diferencia de las máquinas, que no tienen consciencia pero cuyos procesos están
perfectamente determinados, el razonamiento humano emplea principios de
inferencia o conocimiento de los cuales no es consciente introspectivamente (y
no puede determinarlos) pero que determinan crucialmente la naturaleza del
contenido del pensamiento del que somos conscientes. El contenido del
pensamiento es indeterminado en el sentido de que no puede ser enunciado explícitamente;
siempre habrá algún aspecto de nuestro conocer que aún no habrá sido formulado
para poderlo expresar en un programa de computadora, y que, sin embargo,
orientará implícitamente nuestra interpretación de lo que están haciendo los
programas "inteligentes"[16];
por tanto, los programas de computadora[17]
siempre estarán, por lo menos, un grado por debajo de la mente humana.
Además, hay aspectos del
pensamiento humano que son esencialmente intuitivos o indeterminados, de manera
que no pueden ser simulados por una máquina puramente digital.
3.2 CRITICA DE LAS ARGUMENTACIONES DE LUCAS
Las críticas dirigidas a la
argumentación de Lucas son de varias clases: en un primer grupo, se encuentran
aquellas críticas que tratan de refutar a Lucas dejando de lado el teorema de
Gödel, ya sea recurriendo a otros teoremas -teorema de Church- o hablando de
máquinas capaces de trabajar en diversos niveles lingüísticos; en un segundo
grupo se encuentran aquellos que dicen que la prueba de Gödel no demuestra lo
que Lucas, y los que piensan como él,
pretenden que demuestra; en un tercer grupo se encuentran los que
piensan que el teorema de Gödel no es aplicable a las máquinas; en un cuarto
grupo están los que piensan que las mentes y las máquinas tienen las mismas
limitaciones.
Empecemos por las críticas
del primer grupo. Sea un lenguaje formal L0 para el que hemos
especificado una máquina de Turing T0[18]
tal que si se le da bastante tiempo puede producir o refutar cualquier
sentencia aritmética de L0. Según Lucas, la máquina no siempre puede
producir para nosotros una prueba de una proposición gödeliana indecidible de L0,
porque dicha prueba no existe (la prueba existe en un lenguaje L1
superior a L0, pero no en L0). Según esto, para cualquier
máquina siempre habrá una proposición que nosotros podemos demostrar pero ella
no puede. Ahora bien, las habilidades para encontrar demostraciones son tomadas
habitualmente como un criterio de inteligencia, pero si hay al menos una
proposición que el hombre puede demostrar y la máquina no, es porque el hombre
es más inteligente que la máquina.
Hasta aquí la argumentación
de Lucas, pero según Smart[19]
esto no es del todo cierto; para Smart lo que el matemático hace cuando
descubre o conoce es realizar conjeturas, basándose en las conjeturas hechas en
el pasado e introduciendo pequeñas variaciones en ellas; utiliza el modelo de
prueba y ensayo para reproducir ejemplos similares en contextos nuevos; ahora
bien, también una máquina puede hacer tales cosas; de hecho, ya hay programas
que aprenden de sus propios errores, denominados sistemas expertos, así como
máquinas para reconocer formas y modelos (en y fuera de su contexto). Para
refutar a Lucas, lo único que hace falta entonces es diseñar una máquina con la
capacidad de imaginación necesaria para hacer lo que acabamos de decir.
Para solventar este problema
que, en definitiva, es un problema de inventiva, podemos basarnos en el Teorema de Church según el cual no hay decisión en el procedimiento para el
cálculo de predicados. La clase de sentencias verdaderas en el cálculo de
predicados puede ser procesada por una máquina apropiada, de modo que dando
bastante tiempo alcanzará alguna sentencia verdadera. Sin embargo, la clase
de sentencias falsas no puede ser procesada por la máquina; de donde deducimos
que si una sentencia no ha sido procesada, nosotros no podemos saber si es
porque es verdadera y la máquina no ha llegado a ella todavía, o porque es
falsa y la máquina nunca llegará a ella. La solución a esto sería añadir a
nuestra máquina procesadora de la verdad, otra procesadora de la falsedad, pero
no hay tal máquina; por tanto, una máquina no puede decidir acerca de la verdad
o falsedad de una sentencia dada en el cálculo de predicados. Sin embargo, el
matemático humano sí puede; por tanto, lo único que hemos de hacer es poner a
las máquinas en el mismo nivel que el hombre, para lo cual hemos de construir
una máquina capaz de guardar continuamente, de forma progresiva, nuevas
sintaxis de lenguajes para su propio programa, convirtiéndose ella misma de una
máquina L0 a L1, y de aquí a L2 y así
sucesivamente.
Pero, objetaría un
antideterminista, en algún momento habría proposiciones que una máquina no
puede demostrar; a lo que Smart[20]
responde que tal dificultad sólo surge cuando llegamos al final de nuestra
última sintaxis del lenguaje, que debe ser intuitivo; ahora bien, el
conocimiento "intuitivo" es inductivo, y tal tipo de conocimiento sí
puede ser adquirido por una máquina.
Putnam[21] argumenta en el mismo sentido: supongamos que
T sea una máquina de Turing que me "representa", en el sentido de que
T puede demostrar los postulados matemáticos que yo demuestro. Para refutar que
T me "representa" hay que descubrir una fórmula que yo puedo
demostrar y la máquina no.
Si yo demuestro esto,
demostraré que no soy una máquina de Turing. Ahora bien, esto -argumenta
Putnam- es una aplicación errónea del teorema de Gödel ya que lo único que yo
puedo hacer es buscar una fórmula U con la que yo pueda demostrar que: a) si T
es coherente, U es cierta[22]
donde U es indeterminable por T si T es coherente; ahora bien, "¡T puede
también demostrar perfectamente a)!"[23],y
la afirmación que T no puede demostrar, tampoco yo puede demostrarla" (a
menos que pueda demostrar que T es incoherente, ¡lo cual es imposible, si T es
muy complicada!)"[24].
Otro tipo de argumentación
es la que afirma que el hecho de que haya una fórmula verdadera pero que la
máquina (basándonos en el teorema de Gödel) no puede probar porque caería en
contradicción sólo es cierto si se pretende sostener la fórmula por sí misma[25].
A esta "trampa" podemos escapar si mantenemos lo que la fórmula
afirma pero sin utilizar la fórmula, y esto es factible tanto para las máquinas
como para los hombres. La manera de llevar esto a la práctica es construir una
máquina tal que cuando se le presente una fórmula, siempre intente suministrar
una prueba de esta a partir de ciertos axiomas y reglas de inferencia de forma
que, cuando consigue una prueba enciende una luz verde o escribe las palabras
"he probado la fórmula", y cuando se para o intenta todas las
combinaciones posibles sin conseguirlo, enciende una luz roja o escribe las
palabras "No puedo probar la fórmula"; así, habremos conseguido (y
por tanto probado) una máquina que hace todo lo que la mente humana puede
hacer.
Desde un punto de vista
distinto, I. J. Good[26]
acepta que hay verdades matemáticas que una máquina nunca podrá probar
partiendo de los axiomas y reglas de inferencia que se le aporten; sin embargo,
afirma que cuando a una máquina le damos los axiomas y reglas de inferencia, no
le estamos dando una idea adecuada de la verdad matemática (porque lo contrario
implicaría que los formalismos estaban en lo cierto, que es válido lo que Gödel
refutó); de donde deduce que el teorema de Gödel no es un obstáculo mayor para
un computador que para nosotros. Del teorema de Gödel podemos extraer la
conclusión que es muy difícil
construir un matemático mecánico pero, tanto nosotros como el computador,
podemos reconocer la verdad de una fórmula indemostrable comparando lo que dice
con lo que sabemos es el caso.
La argumentación de Lucas
tiene dos ejes: por un lado está la incompletud y, por otro, la indecidibilidad;
aunque ambos, tanto en la argumentación de Lucas como en la de Gödel se
complementan y, por tanto, podemos, sin perder rigor, dar preponderancia a uno
sobre otro. Así, si damos primacía a la indecidibilidad, descubrimos que la
sentencia indecidible de Gödel es auto referencial, en el sentido de que está
construida por el proceso de la "diagonalización" de Cantor.
Correspondientemente a la aritmetización de Gödel, cualquier máquina de Turing
puede ser representada en los símbolos usados por la misma máquina, esta
representación corresponde al número de Gödel de la máquina. En el caso de la
máquina de Turing, el argumento diagonal radica en el hecho de que cualquier
máquina de Turing puede ser descrita por unas secuencias finitas de símbolos.
La limitación que podamos achacar a cualquier máquina de Turing es
esencialmente concerniente a la relación de la máquina consigo misma. En este
sentido, sí es cierto que hay casos que una máquina no puede probar desde sí
misma teniendo que recurrir a algo exterior a ella misma; ¿pero qué interés
puede tener el que otra máquina pueda probar el argumento dado por una máquina
específica?
El segundo bloque de
argumentos que dijimos se dirigía contra las argumentaciones de Lucas y
Nagel-Newman (principalmente), eran aquellos que venían a decir que la prueba
de Gödel no demuestra lo que Lucas, y los que piensan como él, pretenden que
demuestra. Este tipo de argumentación se basa en que la prueba de Gödel se
aplica solamente a sistemas cerrados, en los cuales todos los axiomas y reglas
de inferencia están fijados. Ahora bien, si un programa (como una persona) es
capaz de aprender nuevas reglas y axiomas, comunicándose con el mundo externo y
extendiendo sus representaciones internas, entonces, algo que ayer era
indecidible hoy puede ser decidible. A buen seguro seguirá habiendo hoy otra
cosa indecidible, pero que a su vez puede ser decidible mañana. Es decir, la
prueba de Gödel no muestra que deba haber algún enunciado cuya verdad puedan
conocer las personas, pero no las máquinas programadas.
Por otro lado, tal y como
afirma Good[27]
en el teorema de Gödel se habla de "w-consistencia" y no de
"consistencia" y, según esto, lo que nosotros necesitamos a cada
nivel de proposiciones no demostrable es una definición del sistema como
w-consistente. Ahora bien, esto no nos conduce a una refutación de ninguna
proposición, sino a la necesidad de una cuenta transfinita. De aquí se sigue
que los tiros de Lucas van en dirección equivocada cuando apuntan al teorema de
Gödel, cuando en realidad deberían apuntar al cálculo transfinito; es decir, la
esencia del asunto está en el cálculo transfinito, y no en el teorema de Gödel;
por tanto, la afirmación de que la "lógica humana puede hacer algunas
cosas que una máquina de Turing no puede hacer" no puede ser probada
mediante el teorema de Gödel.
La cuenta transfinita es
necesaria porque, al igual que en el procedimiento de la diagonal de Cantor,
para cada fórmula de un sistema S0 que demostramos en un sistema S1
encontramos otra fórmula en el sistema S1 que ha de ser demostrada
en un sistema S2 y así ad
infinitum. La imposibilidad de demostrar la fórmula indecidible está, por
tanto, en que para demostrarla hay que recurrir al infinito; pero esta
limitación no se da sólo en las máquinas, sino también en los seres humanos.
La argumentación de Lucas
dice que la mente humana puede conocer cosas que no puede conocer una máquina;
a saber, la mente humana puede conocer la verdad de una proposición indecidible
de un sistema formal, mientras que la máquina no la puede conocer porque, al
ser indecidible es indemostrable. Ahora bien, ¿cuál es la significación de
nuestra capacidad para conocer que alguna cosa es verdadera, la cual la máquina
no puede decidir?. Lo que realmente ocurre es que nosotros conocemos la verdad
de la sentencia de Gödel por comparación con lo que dice (que no es derivable
dentro del sistema). Pero, puesto que esto es hecho en el metalenguaje, afirmar
esto sólo vale para establecer el resultado de Gödel pero no para establecer
cualquier cosa acerca de las capacidades relativas de las mentes y de las
máquinas[28].
Además, el argumento de
Lucas es ambiguo, porque Lucas dice que hay una proposición que la mente humana
puede conocer y la máquina no, porque esta última "no puede producirla
como verdadera". Pero, ¿qué significa verdadero? Si definimos verdad como
correspondencia con los hechos tal y como hace Tarski, no está nada claro que
una máquina no pueda conocer la verdad de una sentencia indecidible, ya que
para conocer la verdad de esta proposición sólo necesitaría compararla con los
hechos. Si aceptamos la definición tarskiana de verdad como correspondencia con
los hechos, hemos de concluir que, en contra de la argumentación de Lucas, las
máquinas no están limitadas para decidir sobre la verdad de una sentencia.
Otra forma de atacar la
argumentación de Lucas es afirmar que el teorema de Gödel no es aplicable a las
máquinas; esta opinión está fundada en que el teorema de Gödel habla de teoría
de los números, sin embargo, muchos de los programas desarrollados en IA tienen
muy poco en común con los programas que generan verdades en teoría de los
números: programas con reglas de inferencia inflexibles y grupos fijos de
axiomas. Sin embargo, a estos programas se les asigna el carácter de
"modelos de la mente". En un nivel informal estos programas pueden
manipular imágenes, formular analogías olvidar ideas, confundir conceptos,
etc., igual que la mente humana. Se podrá objetar que si un programa puede
hacer esto es porque ha sido diseñado para que funcione así, lo cual es cierto,
pero también en los seres humanos estos fenómenos descansan en el correcto
funcionamiento de las neuronas. De modo que, podemos concluir, los programas de
IA son "instrumentos concretos de un sistema formal", pero, sin
embargo, no son máquinas a las cuales se les pueda aplicar la transmutación
lucasiana de la prueba de Gödel.
Por otro lado, no está nada
claro que todos los hombres, siendo en principio racionales, puedan seguir el
razonamiento de Gödel y producir como verdadera la fórmula gödeliana de
cualquier máquina. En realidad, no existe ni siquiera un hombre que pueda
producir la fórmula requerida para incluso una máquina no trivial. Necesariamente,
cualquier hombre dado tiene la fórmula gödeliana o no la tiene. Además, todas
las máquinas, o sistemas representables como máquinas, tienen fórmulas
gödelianas, puesto que para todos ellos, pero sólo para tales sistemas, existen
reglas para la formulación de expresiones a partir de las cuales se establecen
las fórmulas gödelianas. Ahora bien, si un hombre no tiene una fórmula
gödeliana, es falso decir que él puede producir su propia fórmula como
verdadera. En este caso, ni el hombre ni la máquina pueden producir su propia
fórmula gödeliana como verdadera, y no se ha demostrado ninguna diferencia
esencial entre ellos. Si, por otra parte, un hombre tiene una fórmula
gödeliana, ese hombre, o es una máquina, o es representable como una máquina,
puesto que sólo tales sistemas pueden tener fórmulas gödelianas. En ningún
caso, pues, ha establecido el argumento una diferencia esencial entre el hombre
y la máquina.
En un cuarto grupo, se
encuentran aquellos que piensan que las mentes y las máquinas están sometidas a
las mismas limitaciones; para este tipo de argumentación, tanto las mentes como
las máquinas pueden hacer cosas que no son susceptibles de ser descritas
mediante algoritmos, o procedimientos efectivos[29].
Hay preguntas que pueden plantearse y para las cuales ningún procedimiento
efectivo tiene respuestas; este tipo de preguntas desempeñaría el papel que en
la argumentación de Lucas desempeña la fórmula de Gödel; pero este tipo de
preguntas suponen limitaciones tanto para las máquinas como para las mentes;
por lo tanto, no hay una diferencia esencial entre las mentes y las máquinas.
Una pregunta de este tipo podría ser el saber si una máquina que hemos diseñado
se detendrá una vez puesta a operar con unos datos particulares; para ello
habríamos de disponer de una máquina de pruebas, o una mente, que pudieran
decirnos (para cualquier máquina y cualquier serie de datos adecuados) si esa
máquina, operando con los datos entregados, se detendrá alguna vez. Ahora bien,
no pueden existir una máquina o una mente con esas características ya que esta
limitación es de tipo lógico.
Turing, respondiendo a esta
objeción dice que las limitaciones que el teorema de Gödel impone a las
máquinas son del tipo de que ante una determinada pregunta, una máquina no
responde o responde erróneamente; afirma que, en este sentido no hay diferencia
esencial entre el hombre y la máquina ya que, al igual que la máquina, también
nosotros en muchas ocasiones respondemos erróneamente a preguntas. Aún más,
suponiendo que nosotros no nos equivocáramos nunca y las máquinas conocidas si, esto sólo sería un triunfo
ante unas determinadas máquinas, pero no
ante todas las máquinas.
Hemos visto que son muchas
las refutaciones que se hacen a Lucas, siendo muy pocos los argumentos que
tiene a su favor; ello quizá sea debido a que el profesor Lucas es un profesor
un tanto solitario de Oxford y parece atraer pocas simpatías del resto de la
comunidad universitaria; sin embargo, al profesor Lucas no creo que le importen
demasiado estas objeciones ya que ¡el mismísimo Gödel le ha dado la razón!. En
efecto, según Gödel (en conversación con Hao Wang) la mente es matemáticamente
más rica que las máquinas, lo que implica que las máquinas no pueden hacer todo
lo que la mente humana puede hacer (ver nota 39).
4. EL JUEGO DE LA IMITACION Y LAS MAQUINAS DE PENSAR
Hay dos modos de abordar la
problemática de si una máquina es o no capaz de pensar: uno es el modo teórico,
el cual se basa en una argumentación abstracta, y cuyo ejemplo más interesante
son los argumentos sacados a partir del teorema de Gödel; el segundo modo de
argumentación es pasar de la teoría a la práctica y tratar de refutar
-diseñando modelos de máquinas inteligentes- lo que los críticos de la IA han
argumentado basándose en el teorema de Gödel.
Esto fue lo que hizo Turing
cuando propuso su "juego de la imitación". Turing en
"Maquinaria, computadora e inteligencia"[30]
propone lo que él denomina el "juego de la
imitación" de forma que si una máquina puede jugar con éxito este
juego[31]
podemos concluir que esa máquina puede pensar.
Según Turing, la
argumentación antimecanicista basada en el teorema de Gödel, al igual que otras
argumentaciones[32]
es superflua ya que lo que podemos poner como límite para la inteligencia de
una máquina, igual podemos ponerlo como límite para la inteligencia humana. Lo
que hemos de hacer es dar una definición de máquina y una definición de pensamiento;
si la definición de pensamiento es aplicable a la máquina, las máquinas pueden
pensar, en caso contrario no.
Turing sólo acepta como
máquinas aptas para el juego de la imitación los computadores digitales y
define el término pensar en función del juego de la imitación. Este juego se
plantea en los siguientes términos:
"Intervienen en él tres personas: un
hombre (A), una mujer (B) y un
preguntador (C) ... El preguntador se sitúa en una habitación aparte y, para
él, el juego consiste en determinar quien de los otros dos es el hombre y quien
la mujer ... El objetivo de A en el juego es lograr que C efectúe una
identificación errónea ... el objetivo del tercer jugador B es ayudar al
interrogador ... ¿Qué sucede cuando una máquina sustituye a A en el juego? ¿Se
pronunciará el preguntador en este caso tan erróneamente como lo hace cuando en
el juego participan un hombre y una mujer?"[33]
Turing sostiene que sí y
extrae como consecuencia que, como las máquinas pueden jugar satisfactoriamente
el juego de la imitación, las máquinas pueden pensar.
El problema, tal y como lo
plantea Turing, tiene a su favor el hecho de que ya se han diseñado programas
que juegan perfectamente el juego de la imitación. Un ejemplo de programa de
este tipo es PARRY. PARRY es un programa neurótico que padece emociones
reprimidas, como odio hacia su padre; de fantasías, como la creencia en su
origen regio; de remordimientos de conciencia por desobedecer una regla moral.
Una vez diseñado el programa, Colby (su constructor) reunió, en un primer paso,
a un grupo de psiquiatras que entrevistaron a pacientes mentales por teletipo
(con el fin de eliminar pistas extralingüísticas y paralingüísticas); en
algunos casos no se comunicaban con pacientes mentales, sino con PARRY. En una
segunda fase, se pidió a un grupo de psiquiatras (igualmente ignorantes del
proyecto) evaluar las transcripciones de las entrevistas para hallar la
presencia (y grado) o ausencia de paranoia. Por último a un tercer grupo se les
enviaron las transcripciones, se les dijo que algunas eran entrevistas de
pacientes, mientras que otras eran entrevistas de máquinas, y se les pidió
decidir cuál era cuál.
Estos fueron los resultados:
NADIE DURANTE LA ENTREVISTA SE DIO
CUENTA QUE ESTABA DIAGNOSTICANDO UNA COMPUTADORA. Lo mismo pasó en la
segunda fase, mientras que en la tercera fase, las conjeturas de los
psiquiatras no tuvieron éxito por encima del azar; por lo que parece que una
computadora puede salvar con solvencia el juego de la imitación y, por tanto,
que el comportamiento de los hombres puede ser simulado en una computadora.
Ahora bien, ¿esto implica,
como pretende Turing, que las computadoras piensan?
PARRY engañaba a los
psiquiatras porque manipulaba cadenas de palabras de una manera "racional",
pero esto no significa, como sostiene M. A. Boden[34]
que el programa entiende las expresiones que forma. PARRY no dispone de una
base semántica (criterio que Searle[35]
considera imprescindible para la comprensión); no entiende, por tanto, ni una
oración ni una palabra; utiliza las expresiones con sentido porque es capaz de
localizarlas en una determinada columna, pero no porque las entienda realmente.
"La mayoría del 'sentido' de las emisiones de PARRY lo suministra el ser
humano que le habla o el limitado número de estrategias de respuesta del
programa ideadas precisamente para superar su imbecilidad lingüística. En
resumen, considerado como conversador, PARRY es un fraude"[36];
de donde se sigue que PARRY no es inteligente y, por tanto, el juego de la
imitación no es válido para decidir sobre la "inteligencia" de las
máquinas[37].
Hemos concluido que PARRY es
un fraude; pero ¿podría haber un programa de características parecidas que no
fuera un fraude?. No. Ello es debido a que es esencial para nuestra noción de
computador (o de programa) el que sus operaciones puedan especificarse de
manera completamente formal. Un programa de computador es solamente sintáctico,
pero una mente es algo más que procesos formales o sintácticos; nuestros
estados mentales tienen, por definición, ciertos tipos de contenido; las mentes
son más que sintácticas, son también semánticas.
Por otro lado, comprender un
lenguaje, o tener estados mentales, incluye algo más que tener un puñado de
símbolos formales. Incluye tener una interpretación o un significado agregado a
esos símbolos; pero un computador digital no puede tener más que símbolos
formales, puesto que la operación de un computador se define en términos de su
capacidad para llevar a cabo programas. La sintaxis sola no es suficiente y las
computadoras digitales, en tanto que computadoras, tienen solamente sintaxis.
La moraleja que sacamos de
este cuento es que si PARRY es un fraude no es por un defecto de diseño, sino
porque no puede ser de otra forma ya que un computador (o un programa) no puede formar por sí mismo su propio
lenguaje a la manera en que nosotros formamos las expresiones usuales de
nuestro pensamiento. Las computadoras imitan el lenguaje natural, pero es gracias
a un lenguaje exacto que tiene por expresión la aritmética y la lógica; pero el
lenguaje humano no es forzosamente un lenguaje exacto.
Además el juego de la
imitación es una de las muchas cosas que pueden hacer los seres humanos, pero
no es todo lo que los seres humanos pueden hacer, de donde se sigue que porque
una máquina sea capaz de jugar con garantías el juego de la imitación, no
quiere decir que la máquina piense, sino sólo que juega bien el juego de la
imitación. "El acto de pensar no puede identificarse con lo que se
demuestra en un ejemplo concreto; por lo tanto, el enfoque de Turing de
responder a la pregunta:¿Puede pensar una máquina? con el juego de la imitación
deja mucho que desear"[38].
Además, el que las máquinas sean capaces de hacer lo que los seres humanos, no
supone que posean facultades mentales o intelectuales, ya que muchas cosas de
las que realizan los humanos implican poca o nula reflexión.
De todas formas, la objeción
más interesante a Turing, es la que le hizo el propio Gödel. La hipótesis de
Turing quizá sea cierta, es decir, quizás sea cierto que el cerebro al igual
que las máquinas puede ser descrito en términos mecánicos, pero ello no implica
que Turing tenga razón cuando afirma que las máquinas pueden pensar, porque el
pensamiento no es un atributo del cerebro, sino de la mente, la cual va más
allá, no sólo de las máquinas, sino también del cerebro[39].
5. CONCLUSIONES
El teorema de incompletud de
Gödel es un teorema de limitación, lo que en realidad se consigue con el
teorema de Gödel es poner límites a lo que podemos conseguir o realizar con un
sistema formal, de hecho, este teorema supuso el final del sueño formalista del
programa de Hilbert.
Si definimos una computadora
como un sistema formal, aplicándole el teorema de Gödel podemos concluir que el
número de cosas que una computadora es capaz de realizar tiene como techo la
fórmula gödeliana del sistema formal que compone la computadora. Por otro lado,
si aceptamos la tesis antimecanicista que se niega a describir la mente humana
en términos de ningún tipo de sistema formal, llegaremos a la conclusión de que
la mente humana no está sometida a este tipo de limitaciones; por tanto, la
mente humana puede hacer cosas que no pueden hacer las máquinas, por tanto, la
tesis mecanicista (que sostiene que las mentes se pueden describir en términos
de máquinas) es errónea.
La tesis antimecanicista es
cierta tanto a nivel fuerte (nivel matemático) como en un nivel más débil
(nivel del lenguaje). A nivel matemático es cierta basándonos en el teorema de
Gödel.
Pero, aunque como sostienen
algunos autores, el teorema de Gödel no fuese aplicable a las máquinas de
"pensar" en un sentido fuerte, si se puede aplicar en un sentido
débil y, también en este sentido muestra que el mecanicismo es falso.
Cuando hablo de sentido
débil, me refiero a la idea de aplicar a las máquinas la idea de limitación que
hay en el teorema de Gödel, aunque esta limitación no sea una limitación
matemática.
En efecto, todas las
máquinas están sometidas a unas limitaciones que no tienen que soportar las
mentes; así, por ejemplo, en un nivel lingüístico, las máquinas son incapaces
de crear lenguajes como las mentes, ya que sólo disponen de sintaxis, pero no
de semántica. Ello implica que, aunque trabajen con lenguajes naturales, no
pueden comprenderlos y, en este sentido, siempre están un nivel por debajo de
la mente humana, que es lo que sostienen los argumentos basados en el teorema
de Gödel; por tanto, ya sea en un sentido débil o en un sentido fuerte, estos
argumentos son verdaderos, de donde se sigue que las máquinas no pueden hacer
todo lo que pueden hacer las mentes; de donde se sigue que el mecanicismo es
falso y, por tanto, la respuesta a la pregunta de Turing:¿pueden pensar las
máquinas? debe ser: NO. LAS MAQUINAS NO PUEDEN PENSAR.
Q.E.D.
De lo dicho hasta aquí
parece deducirse la conclusión de que el mecanicismo es falso y, por tanto, las
mentes humanas no pueden describirse como máquinas. ¿Cuál es la consecuencia
del mecanicismo? La consecuencia del mecanicismo, teniendo en cuenta que este
es una variante del determinismo, es que todo está determinado de antemano,
incluso nuestros actos y nuestros pensamientos; pero, si el mecanicismo es
falso, parece que se impone la tesis antimecanicista, en la cual hay lugar para
la libertad; por tanto, la libertad existe.
El hecho de que la libertad
sea real tiene importantes consecuencias para la moralidad. Si entendemos la
moralidad no como un simple estudio de los comportamientos denominados morales,
sino como una disciplina que pretende discernir entre el comportamiento correcto
(moral) y el comportamiento incorrecto (inmoral), el hecho de que el
mecanicismo sea falso es de enorme importancia, porque hace posible la
moralidad, ya que al existir la libertad tiene sentido hablar de
comportamientos correctos e incorrectos.
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[1] Gödel, K.:"Sobre proposiciones
formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines" en
GÖDEL, K.: Obras completas, Alianza,
Madrid, 1981, pp. 45-89.
[2] Una de las razones que
indujeron a que la demostración de Gödel se aceptase rápidamente es que la
prueba de Gödel es una prueba fuerte
en el sentido de que: 1) la prueba es constructiva (intuicionistamente
aceptable); 2)la prueba sigue siendo válida aunque añadamos el axioma de
elección y la hipótesis del continuo al sistema formal considerado y 3) el
teorema de incompletud es válido para todos
los sistemas formales algo expresivos conocidos, incluyendo la teoría
axiomática de conjuntos y la aritmética de Peano, más todos los sistemas formales por descubrir.
[3] Para una completa y
sencilla información sobre el teorema de Gödel se puede consultar el libro de
E. Nagel y J. R. Newman: El teorema de
Gödel, Tecnos, Madrid, 1979.
[4] En lo sucesivo usaré el
término mecanicismo en vez de determinismo.
[5] Si todos los hombres son
máquinas, entonces, las máquinas pueden hacer todo lo que los hombres pueden
hacer.
[6] Nagel-Newman, op. cit.
pp.115-120.
[7] LUCAS,J.R.:"Mentes,
máquinas y Gödel", en ANDERSON, A.A. (ed): Controversia sobre mentes y máquinas, Tusquets, Barcelona, 1984
[8] Lucas, op. cit. pag 73
[10] Lucas, op. cit. pag 75
[11] Lucas, op. cit. pag 77
[12] Lucas, op. cit. pag 88
[14] GOOD, I.J.: "Gödel's theorem is
a red herring, British Journal for the Philosophy of Science,19,1969, pp. 357-358.
[15] Por "algoritmo"
se entiende una prescripción del orden secuencial en que se ha de realizar una
serie de operaciones para la resolución, en un número finito de pasos, de un
tipo específico de problemas. La ejecución de esas operaciones está totalmente
determinada y debe ser realizada sin acudir para nada a la imaginación o
conocimientos del ejecutante.
[16] BODEN, M.A.: Inteligencia artificial y hombre natural,
Tecnos, Madrid, 1984
[17] Hablo de programas porque al fin y al
cabo en el problema mente-máquina, de lo que se trata es de conseguir un
programa que haga que una máquina se comporte de manera inteligente; una
máquina sin programa es sólo un conjunto de circuitos integrados, lo mismo que
un hombre sin cerebro no es nada.
[18] Una máquina de Turing es
un dispositivo con un número finito de configuraciones internas, cada una de
las cuales presupone que la máquina está en un de un número finito de ESTADOS,
y que la máquina explore una cinta que lleva escritos ciertos símbolos. La cinta de la máquina está dividida en
casillas y, en cada una de ellas hay impreso un símbolo (de un determinado
alfabeto finito). La máquina posee también un "traceador" que
"barre" una por una las posiciones de la cinta. Finalmente la máquina
está dotada de un mecanismo de impresión
por el que a) borra el símbolo de la casilla barrida y b) imprime en ella otro
símbolo (de su alfabeto). Cualquier
máquina de Turing se ajusta totalmente a la descripción de la tabla de instrucciones, y su estructura
es la siguiente: las filas de la tabla corresponden a las letras del alfabeto,
y las columnas corresponden a los estados A, B, C, etc.
[19] SMART, J.J.C.:"Gödel's
theorem, Church's theorem and mechanism", Synthese, 13, 1961, pp. 105-110.
[20] (20) Smart; op. cit. pag
109
[21] PUTNAM, H.:"Mentes y
máquinas", en Anderson; op. cit. pp. 113-149
[22] Putnam, op. cit. pág 120.
[23] Putnam, loc. cit.
[24] Putnam, op. cit. pag. 121
[25] WITHELEY, C.H.:"Minds, machines and
Gödel:a reply to Mr. Lucas", Philosophy,37,1962,
pp. 61-62.
[26] Good, op. cit.
[27] Good, op. cit.
[28] cf. SLEZAK, P.:"Gödel's theorem and the
mind", Synthese, 1961, pp.
105-110
[29] WEIZEMBAUN, J.: La frontera entre el ordenador y la mente,
Pirámide, Madrid, 1978, pag. 63
[30] TURIN,
A.M.:"Maquinaria, computadora e inteligencia" en Anderson, op. cit.
pp. 11-50
[31] Turing da por supuesto
que existen las condiciones tecnológicas suficientes para construir tal
máquina.
[32] Además del argumento
basado en el teorema de Gödel, Turing critica también lo que él denomina el
argumento teológico, los argumentos de la conciencia, argumentos basados en
incapacidades diversas, argumentos basados en la continuidad del sistema
nervioso y lo que él denomina objeción de Lady Lovelace (las máquinas sólo
hacen lo que nosotros sepamos mandarles).
[33] Turing, op. cit. pp. 11-12
[34] Boden, op. cit.
[35] SEARLE, J.: Mentes, cerebros y ciencia, Cátedra,
Madrid, 1985, pp. 37 y ss.
[36] Boden, o. cit. pag. 146
[37] Para una crítica
interesante y parecida a la expuesta aquí del juego de la imitación, véase
SEARLE, op. cit. pp 37 y ss. y GUNDERSON, K.:"El juego de la
imitación" en Anderson, op. cit. pp. 95-112.
[38] Gunderson, op. cit. pag
107
[39]
Palabras oídas al profesor Garrido en una conferencia titulada Gödel y la filosofía, en conmemoración
del décimo aniversario de la muerte de Gödel (conferencia no publicada).
